【老刘谈算法005】多次多项式的快速求值——字符串转双字函数分析（2）

老刘

在Masm32Lib中给出了3个十进制的字符串转双字函数，其1和其2如下，
a2dw.Asm

; #########################################################################

    ; --------------------------------------
    ; This procedure was written by Iczelion
    ; 注释翻译、添加 by 老刘。
    ; --------------------------------------

      .386
      .model flat, stdcall  ; 32 bit memory model
      option casemap :none  ; case sensitive

      include \MASM32\INCLUDE\kernel32.inc

    .code

; #########################################################################

a2dw proc uses ecx edi edx esi String:DWORD

      ;----------------------------------------
      ; Convert decimal string into dword value
      ; return value in eax
      ;----------------------------------------

      xor ecx, ecx
      mov edi, String
      invoke lstrlen, String

      .while eax != 0
        xor edx, edx
        mov dl, byte ptr [edi]
        sub dl, "0" ; subtrack each digit with "0" to convert it to hex value
        mov esi, eax
        dec esi
        push eax
        mov eax, edx        ;ascii对应的byte
        push ebx
        mov ebx, 10
          .while esi > 0        ;num*10^esi
            mul ebx        ;结果到eax（低位）,edx（高位）中
            dec esi
          .endw
        pop ebx
        add ecx, eax                ;ecx储存结果
        pop eax
        inc edi
        dec eax
      .endw

        mov eax, ecx
        ret

a2dw endp

; #########################################################################

end

atodw.asm

; #########################################################################

  ; ---------------------------------------------------------------
  ;      本程序最初由 Tim Roberts 编写
  ;
  ;         Alexander Yackubtchik 优化了部分代码
  ; ---------------------------------------------------------------

    .486
    .model flat, stdcall  ; 32 bit memory model
    option casemap :none  ; case sensitive
    .code

; #########################################################################

atodw proc String:DWORD

  ; ----------------------------------------
  ; 十进制转dword
  ; eax储存返回值
  ; ----------------------------------------

    push esi
    push edi

    xor eax, eax
    mov esi, [String]
    xor ecx, ecx
    xor edx, edx
    mov al, [esi]
    inc esi
    cmp al, 2D        ;检测负号
    jne proceed        ;不是负号就跳转
    mov al, byte ptr [esi]
    not edx        ;FFFFFFFF
    inc esi
    jmp proceed

  @@: 
    sub al, 30h        ;ascii->byte
    lea ecx, dword ptr [ecx+4*ecx]        ;ecx*=5
        lea ecx, dword ptr [eax+2*ecx]        ;ecx=ecx*2+eax
    mov al, byte ptr [esi]
    inc esi

  proceed:
    or al, al
    jne @B        ;非0（没处理完）上跳
    lea eax, dword ptr [edx+ecx]
    xor eax, edx

    pop edi
    pop esi

    ret

atodw endp

; #########################################################################

end

粗略观察可得，两块代码采用了不同的多次多项式求值算法，本文将会探讨这两种算法的优劣，并引申出一种其它的算法。
其它细枝末节将会在《【老刘谈算法】字符串转双字函数分析系列》后续文章中做详细分析。

多项式在哪里？

字符串转dword，可以提取出一个数学模型：
设a~n~至a~1~为键入的数字转化为byte后从高位向低位的值，（若键入123，则a~3~=0x01，a~2~=0x02，a~1~=0x03）
则有dword=a~n~10^n-1^+a~n-1~10^n-2^+…+a~2~*10+a~1~，
这正是一个标准的多次多项式。

多次多项式算法

算法一：无脑直接算的算法

观察a2dw，其运算逻辑&步骤如下：

1. 清空ecx。
2. 计算a~n~*10^n-1^（从左向右顺序计算），累加到ecx，n=n-1。
3. 若只剩最低位了，直接加到ecx，否则重复步骤2。

设输入了n位数，则该算法

• 进行的乘法运算：0+1+2+⋯+(n-1)=(n-1)(1+(n-1))/2=0.5n^2^-0.5n 次
• 进行的加法运算：n-1 次

不难发现，该算法作了许多无用功，即等价下来每次都将10从1次计算到所需的次数。
那么如果倒序计算，并且保存已经计算的10的最高次幂，是否可以大大提高效率，达到效率最大化呢？

算法二：优化的多次多项式算法

该算法逻辑如下：依次计算并累加a~1~至a~n~*10^n-1^，将当前已经计算的10的最高次储存，以供后续使用。
这个算法的效率如何呢？

• 进行的乘法运算：0+1+2+2+…+2=0+1+(n-2)*2=2n-3 次
• 进行的加法运算：n-1 次

可见效率已有很大提高，但效率最大化恐怕还轮不到它。

算法三：秦九韶算法

秦九韶算法最早由我国古代数学家秦九韶提出，其原理如下：
设原多项式为：k~n~x^n^+k~n-1~x^n-1^+⋯+k~0~
可提取公因式，变型为：(…((k~n~x+k~n-1~)x+k~n-2~)x+⋯+k~1~)x+k~0~
若使用秦九韶算法计算，易得

• 乘法运算：n 次（最多）
• 加法运算：n 次（最多）

放到字符串转dword的情境中，若字符串有n位，则乘法、加法分别计算n-1次即可计算完成。
秦九韶算法是当今最先进的多项式求值算法之一。
而atodw.asm正是该算法的汇编实现。

其它

• lz才疏学浅，若有不足，请不吝赐教。
• 若乘加法所需次数计算错误，请告诉lz。
• 欢迎留言、回帖讨论。

老刘

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