引言
今天看到一道24点类型的问题，题目来自b站动态。因为原题题意不清晰，所以我在此描述得更清晰一些：
对于0 0 0到10 10 10这11组数，请填入运算符凑出6。允许使用的二元运算符包括** * / % + - << >> & | ^，允许使用的一元运算符包括!, sqrt, fac（根号、阶乘），允许使用括号。每一次的二元运算结果都可以使用至多一次一元运算符，比如((0! + 0!)! + 0!)! = 6是合法的。其中除法需要除得尽才合法。
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表达式树介绍
24点的dfs比较好理解，但如果没有专门学习过很难自己想出来。首先我们要了解表达式树。以下面这棵表达式树为例：
*
/ \
1 +
/ \
2 3
它表示表达式1 * (2 + 3)。表达式树的叶子节点为数字，非叶子节点为二元运算符。我们dfs遍历这棵树，走到非叶子节点，需要先获取左右子树的运算结果，再根据该点的符号获取当前子树的运算结果。
表达式树也可以很轻松地表示一元运算符。比如：
*
/ \
1 +
/ \
2 fac
|
3
表示表达式1 * (2 + 3!)。实际上，表达式树是抽象语法树（Abstract Syntax Tree，AST）的特殊情况，如果你有前端基础，可以进astexplorer快速学习。
算法实现
然后我们就可以理解24点的dfs了。最初有n个数，相当于有n个单节点的树。我们每次选择两棵子树进行合并，合并n - 1次后就得到最终的表达式树。使用dfs枚举所有可能的合并方案即可。
接下来看下实现，以hdu1427为例：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int SZ = 4;
char s[SZ][3];
bool vis[SZ];
int a[SZ];
template<typename Type>inline void read (Type &xx) {
Type f = 1;
char ch;
xx = 0;
for (ch = getchar(); ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar() ) if (ch == '-') f = -1;
for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar() ) xx = xx * 10 + ch - '0';
xx *= f;
}
int getn (char s[]) {
if (strlen (s) == 2) return 10;
else if (s[0] == 'A') return 1;
else if (s[0] == 'J') return 11;
else if (s[0] == 'Q') return 12;
else if (s[0] == 'K') return 13;
return s[0] - '0';
}
bool dfs (int dep) {
if (dep == SZ - 1) {
for (int i = 0; i < SZ; ++i) {
if (!vis[i]) {
if (a[i] == 24) return true;
}
}
return false;
}
bool fl = false;
for (int i = 0; i < SZ; ++i) {
if (vis[i]) continue;
for (int j = i + 1; j < SZ; ++j) {
if (vis[j]) continue;
vis[j] = true;
int x = a[i], y = a[j];
if (y && x % y == 0) {
a[i] = x / y;
if (dfs (dep + 1) ) fl = true;
}
if (x && y % x == 0) {
a[i] = y / x;
if (dfs (dep + 1) ) fl = true;
}
a[i] = x + y;
if (dfs (dep + 1) ) fl = true;
a[i] = x - y;
if (dfs (dep + 1) ) fl = true;
a[i] = y - x;
if (dfs (dep + 1) ) fl = true;
a[i] = x * y;
if (dfs (dep + 1) ) fl = true;
a[i] = x;
vis[j] = false;
}
}
return fl;
}
int main (int argc, char **argv) {
while (~scanf ("%s%s%s%s", s[0], s[1], s[2], s[3]) ) {
for (int i = 0; i < SZ; ++i)
a[i] = getn (s[i]);
memset (vis, 0, sizeof vis);
puts (dfs (0) ? "Yes" : "No");
}
return 0;
}
vis[i] = true表示i号子树属于其他的树，vis[i] = false表示i号树未被合并过。a[i]存i号子树的求值结果。- 这里是用
i号来存合并后的树，你想改成j号也行。如果你想early return，需要记得恢复现场：a[i] = x; vis[j] = false; return true;。
- 如果你想获取生成的表达式，那么你必须引入一个
string ans[N]。
接下来考虑一元运算符怎么实现。
- 对于叶子，我们在dfs外部枚举4进制位，约定0表示不变，1表示变为阶乘，2表示变为根号，3表示取反。如果要支持其他一元运算符，比如
- ~，就相应改成枚举5、6进制位即可。
- 对于非叶子，在dfs内部进行变换即可。
现在我们已经理解了算法，接下来只需要讲下实现上的细节：
- 每个运算符都需要考虑准入条件。比如
**, fac需要防止结果过大（引入powTooLarge函数）、/ %需要保证除数不为0、sqrt需要保证原数是完全平方数（引入isPerfectSquare函数）。
- 输出量较大，所以我们把输出重定向到文件了。
- 为了方便地验证输出结果的正确性，我们拼接了一段js代码，结构：
let fac = (v) => v > 0 ? v * fac(v - 1) : 1, { sqrt } = Math;\n[].every((v) => v === 6);。把代码直接复制到浏览器控制台，执行结果为true即符合预期。
下面我给出两版代码，v2相比于v1只多了上述一元运算符实现点的“2”，但代码量却达到了两倍。
执行结果：
v1执行时间可以接受，v2执行时间以分钟计。8 8 8没有找到答案，其他的都找到了不少答案。不过如果允许构造一个集合的话，就有一个比较离谱的答案：|{ 8, 8, 8 }|! = 6。
v1
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = int64_t;
// Copyright 2023 hans7
const int N = 3, M = 11;
bool vis[N];
int p4[N + 1];
LL fac[M], a[N];
string ans[N];
set<string> ansSet;
void dbg() { puts(""); }
template <typename T, typename... R>
void dbg(const T &f, const R &...r) {
cout << f << " ";
dbg(r...);
}
bool powTooLarge(LL x, LL y) {
if (y >= 63) return x >= 2;
return y * log(x) >= 43.66827237527655;
}
bool isPerfectSquare(LL v) {
LL root = sqrt(v);
return root * root == v;
}
bool dfs(int dep) {
if (dep + 1 == N) {
for (int i = 0; i < N; i++) {
if (!vis[i]) {
if (a[i] == 6) {
ansSet.insert(ans[i]);
}
return a[i] == 6;
}
}
return false;
}
bool fl = false;
for (int i = 0; i < N; i++) {
if (vis[i]) continue;
for (int j = i + 1; j < N; j++) {
if (vis[j]) continue;
vis[j] = true;
LL x = a[i], y = a[j];
string tmpAnsI = ans[i], tmpAnsJ = ans[j];
if (!powTooLarge(x, y)) {
a[i] = round(pow(x, y));
ans[i] = "(" + tmpAnsI + ") ** (" + tmpAnsJ + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
}
if (!powTooLarge(y, x)) {
a[i] = round(pow(y, x));
ans[i] = "(" + tmpAnsJ + ") ** (" + tmpAnsI + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
}
if (y && x % y == 0) {
a[i] = x / y;
ans[i] = "(" + tmpAnsI + ") / (" + tmpAnsJ + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
}
if (x && y % x == 0) {
a[i] = y / x;
ans[i] = "(" + tmpAnsJ + ") / (" + tmpAnsI + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
}
a[i] = x * y;
ans[i] = "(" + tmpAnsI + ") * (" + tmpAnsJ + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
if (y) {
a[i] = x % y;
ans[i] = "(" + tmpAnsI + ") % (" + tmpAnsJ + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
}
if (x) {
a[i] = y % x;
ans[i] = "(" + tmpAnsJ + ") % (" + tmpAnsI + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
}
a[i] = x + y;
ans[i] = "(" + tmpAnsI + ") + (" + tmpAnsJ + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
a[i] = x - y;
ans[i] = "(" + tmpAnsI + ") - (" + tmpAnsJ + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
a[i] = y - x;
ans[i] = "(" + tmpAnsJ + ") - (" + tmpAnsI + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
a[i] = x << y;
ans[i] = "(" + tmpAnsI + ") << (" + tmpAnsJ + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
a[i] = y << x;
ans[i] = "(" + tmpAnsJ + ") << (" + tmpAnsI + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
a[i] = x >> y;
ans[i] = "(" + tmpAnsI + ") >> (" + tmpAnsJ + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
a[i] = y >> x;
ans[i] = "(" + tmpAnsJ + ") >> (" + tmpAnsI + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
a[i] = x & y;
ans[i] = "(" + tmpAnsI + ") & (" + tmpAnsJ + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
a[i] = x | y;
ans[i] = "(" + tmpAnsI + ") | (" + tmpAnsJ + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
a[i] = x ^ y;
ans[i] = "(" + tmpAnsI + ") ^ (" + tmpAnsJ + ")";
if (dfs(dep + 1)) fl = true;
a[i] = x;
ans[i] = tmpAnsI;
vis[j] = false;
}
}
return fl;
}
int main(int, char **) {
fstream file;
file.open("apple_interview_24point_similar-v1.txt", ios::out);
streambuf *stream_buffer_out = cout.rdbuf();
cout.rdbuf(file.rdbuf());
for (int i = 0; i <= N; i++) p4[i] = i ? p4[i - 1] * 4 : 1;
for (int i = 0; i < M; i++) fac[i] = i ? fac[i - 1] * i : 1;
vector<size_t> ansSetSizes;
for (int i = 0; i < M; i++) {
ansSet.clear();
bool hasAns = false;
for (int S = 0; S < p4[N]; S++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
int v = 0;
string strV;
int sVal = S / p4[j] % 4;
if (sVal == 1 && isPerfectSquare(i)) {
v = sqrt(i);
strV = "sqrt(" + to_string(i) + ")";
} else if (sVal == 2) {
v = fac[i];
strV = "fac(" + to_string(i) + ")";
} else if (sVal == 3) {
v = !i;
strV = "!" + to_string(i);
} else {
v = i;
strV = to_string(i);
}
a[j] = v;
ans[j] = strV;
}
hasAns |= dfs(0);
}
ansSetSizes.push_back(ansSet.size());
cout << i << " " << hasAns << endl;
cout << "ansSet.size() = " << ansSet.size() << endl;
string jsCode =
"let fac = (v) => v > 0 ? v * fac(v - 1) : 1, { sqrt } = Math;\n[";
for (auto v : ansSet) {
jsCode += v + ", ";
}
jsCode += "].every((v) => v === 6);";
cout << jsCode << endl;
}
cout << "ansSetSizes = [";
ostream_iterator<size_t> out_iter(cout, ", ");
copy(ansSetSizes.cbegin(), ansSetSizes.cend(), out_iter);
cout << "]" << endl;
cout.rdbuf(stream_buffer_out);
file.close();
return 0;
}
v2代码过长，在此不贴出，传送门
[复制链接]
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发表于 2023-12-14 01:13
|楼主
发表于 2023-12-8 16:07
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