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洛谷 P4147 玉蟾宫 题解

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题目背景 & 描述

有一天，小猫 rainbow 和 freda 来到了湘西张家界的天门山玉蟾宫，玉蟾宫宫主蓝兔盛情地款待了它们，并赐予它们一片土地。

这片土地被分成 N × M 个格子，每个格子里写着 'R' 或者 'F'，R 代表这块土地被赐予了 rainbow，F 代表这块土地被赐予了 freda。

现在 freda 要在这里卖萌。。。它要找一块矩形土地，要求这片土地都标着 'F' 并且面积最大。

但是 rainbow 和 freda 的 OI 水平都弱爆了，找不出这块土地，而蓝兔也想看 freda 卖萌（她显然是不会编程的……），所以它们决定，如果你找到的土地面积为 S，它们每人给你 S 两银子。

输入格式

第一行两个整数 N，M，表示矩形土地有 N 行 M 列。

接下来 N 行，每行 M 个用空格隔开的字符 'F' 或 'R'，描述了矩形土地。

输出格式

输出一个整数，表示你能得到多少银子，即（3 × 最大 ’F’ 矩形土地面积）的值。

输入输出样例

输入 #1

[C] 纯文本查看 复制代码

5 6 
R F F F F F 
F F F F F F 
R R R F F F 
F F F F F F 
F F F F F F

输出 #1

[C] 纯文本查看 复制代码

45

对于 100% 的数据，1 ≤ N, M ≤ 1000。

题目分析

画个图分析分析



肉眼可见这一块面积最大



可是我们要如何用编程来求出呢？

以下将 F 设为 “土地” ，将 R 称为 "障碍"

可以想象一下，每一块土地，有一条线，从土地本身一直向上延伸，直到遇到了边界或者障碍，我们把这条线的长度叫 h

我们给每一个土地都计算出它的 h



然后，我们要计算每一条线可以往左和右最远可以到达的地方，之后，就可以遍历计算面积并获得最大值了。

那，我们要如何计算每一条线可以往左和右最远可以到达的地方呢？

以下如果不理解，就多看几遍

我们先计算每一个土地可以从自身向左和右可以到达最远的地方，我们叫它 l 和 r 。



接下来，计算每一条线可以往左和右最远可以到达的地方。当这个土地的上面也是一个土地时，如果上面土地的 r 小于下面的土地，那么下面的土地的 r 更新为上面土地的 r ，如果上面土地的 l 大于下面的土地的 l ，则下面的 l 更新为上面的 l。

可以思考一下，为什么这样做。

更新后的图如下：



加上前面的关于 h 的图



我们就可以很轻松的获得每条线所可以覆盖的土地面积了

用公式 (r - l + 1) * h 就可以计算

最后，当全部计算结束，比较大小就可以获得最大的空地面积了

这就是竞赛中常用来解决最大子矩形问题的算法：悬线算法

思路有了，代码开写！

代码开写

1. 读入

过简单，不介绍

[C++] 纯文本查看 复制代码

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        cin >> a[i][j];
        // 初始化 h
        h[i][j] = 1;
    }

然后计算每个土地的 h

[C++] 纯文本查看 复制代码

// 要计算其他的 h ，如果这个是土地且上面也是土地，则这个土地的 h 等于上面土地的 h 加一
for (int i = 2; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= m; j++)
        if (a[i][j] == 'F' && a[i - 1][j] == 'F')
            h[i][j] = h[i - 1][j] + 1;

计算 r 和 l

[C++] 纯文本查看 复制代码

// 计算 r 和 l
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        // 初始化为 j
        r[i][j] = j; l[i][j] = j;
    }
    // 遍历更新
    for (int j = 2, k = m - 1; j <= m; j++, k--) {
        if (a[i][j] == 'F' && a[i][j - 1] == 'F') 
            // 对于每一行，如果左边的格子是土地，那么更新为左边格子的 l 加一
            l[i][j] = l[i][j - 1];
        if (a[i][k] == 'F' && a[i][k + 1] == 'F') 
            // 对于每一行，如果右边的格子是土地，那么更新为左边格子的 l 加一
            r[i][k] = r[i][k + 1];
    }
}

for (int i = 2; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        if (a[i - 1][j] == 'F' && a[i][j] == 'F') {
            // 计算每一条线可以往左和右最远可以到达的地方。
            // 当这个土地的上面也是一个土地时，如果上面土地的 r 小于下面的土地，那么下面的土地的 r 更新为上面土地的 r 
            // 如果上面土地的 l 大于下面的土地的 l ，则下面的 l 更新为上面的 l。
            if (r[i - 1][j] < r[i][j]) r[i][j] = r[i - 1][j];
            if (l[i - 1][j] > l[i][j]) l[i][j] = l[i - 1][j];
        }
    }

查找最大的面积

[C++] 纯文本查看 复制代码

// 遍历每一条悬线的面积
for (int i = 2; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        if (a[i][j] == 'F' && (r[i][j] - l[i][j] + 1) * h[i][j] > ans) {
            // 更新最大
            ans = (r[i][j] - l[i][j] + 1) * h[i][j];
        }
    }
}

完整代码

[C++] 纯文本查看 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 1010;
int n, m, ans, h[MAXN][MAXN], l[MAXN][MAXN], r[MAXN][MAXN];
char a[MAXN][MAXN];

int main() {
    ans = 0;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            cin >> a[i][j];
            // 初始化 h
            h[i][j] = 1;
        }

    // 要计算其他的 h ，如果这个是土地且上面也是土地，则这个土地的 h 等于上面土地的 h 加一
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            if (a[i][j] == 'F' && a[i - 1][j] == 'F')
                h[i][j] = h[i - 1][j] + 1;

    // 计算 r 和 l
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            // 初始化为 j
            r[i][j] = j; l[i][j] = j;
        }
        // 遍历更新
        for (int j = 2, k = m - 1; j <= m; j++, k--) {
            if (a[i][j] == 'F' && a[i][j - 1] == 'F') 
                // 对于每一行，如果左边的格子是土地，那么更新为左边格子的 l 加一
                l[i][j] = l[i][j - 1];
            if (a[i][k] == 'F' && a[i][k + 1] == 'F') 
                // 对于每一行，如果右边的格子是土地，那么更新为左边格子的 l 加一
                r[i][k] = r[i][k + 1];
        }
    }

    for (int i = 2; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (a[i - 1][j] == 'F' && a[i][j] == 'F') {
                // 计算每一条线可以往左和右最远可以到达的地方。
                // 当这个土地的上面也是一个土地时，如果上面土地的 r 小于下面的土地，那么下面的土地的 r 更新为上面土地的 r 
                // 如果上面土地的 l 大于下面的土地的 l ，则下面的 l 更新为上面的 l。
                if (r[i - 1][j] < r[i][j]) r[i][j] = r[i - 1][j];
                if (l[i - 1][j] > l[i][j]) l[i][j] = l[i - 1][j];
            }
        }

    // 遍历每一条悬线的面积
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (a[i][j] == 'F' && (r[i][j] - l[i][j] + 1) * h[i][j] > ans) {
                // 更新最大
                ans = (r[i][j] - l[i][j] + 1) * h[i][j];
            }
        }
    }

    // 输出答案
    cout << ans * 3 << endl;

    return 0;
}

Hmily

图都挂了看不到，这个题目好像网上很多，文章是原创的吗？

就在今天

这是什么，怎么没有图片，图片哪去了

Hmily 发表于 2024-2-7 16:37
图都挂了看不到，这个题目好像网上很多，文章是原创的吗？

图片不知道为什么挂了，就放上图片的链接吧

https://imgse.com/i/pF1p1AS
https://imgse.com/i/pF1pJpj
https://imgse.com/i/pF1pODP
https://imgse.com/i/pF193b6
https://imgse.com/i/pF1tGe1
https://imgse.com/i/pF1pODP

学过了悬线算法之后，刷题时写的题解，代码和文案原创的

Hmily 发表于 2024-2-7 16:37
图都挂了看不到，这个题目好像网上很多，文章是原创的吗？

是原创的

Hmily 发表于 2024-2-7 16:37
图都挂了看不到，这个题目好像网上很多，文章是原创的吗？

不知为什么挂了












都是原创

Hmily 发表于 2024-2-7 16:37
图都挂了看不到，这个题目好像网上很多，文章是原创的吗？

图片源文件地址

https://s11.ax1x.com/2024/02/05/pF1p1AS.png
https://s11.ax1x.com/2024/02/05/pF1pJpj.png
https://s11.ax1x.com/2024/02/05/pF1pODP.png
https://s11.ax1x.com/2024/02/05/pF193b6.png
https://s11.ax1x.com/2024/02/06/pF1tGe1.png
https://s11.ax1x.com/2024/02/05/pF1pODP.png

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Hmily 发表于 2024-2-10 12:32
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已经整理发布~